Кодування чисел

У повсякденному житті ми звикли записувати числа в десятковій системі, у якій ми використовуємо десять різних цифр, а їх положення відповідає степеням десяти. Так, наприклад, 358 означає вісім одиниць, п’ять десятків і три сотні. Це один із багатьох можливих способів кодування.

Як ми можемо закодувати 358 інакше? Наприклад, намалювавши триста п’ятдесят вісім рисок поруч. Або ми могли б погодитися, що дракон позначатиме сто, свиня – п’ятдесят, а заєць – два. Тоді ми могли б представити 358 зображенням трьох драконів, свині та чотирьох зайців.

Комп’ютери, однак, не користуються драконами і поросятками для кодування. Навіть десяткова система не підходить для комп’ютерів, тому що в комп’ютерів немає десяти пальців. З іншого боку, комп’ютери можуть добре розрізняти два стани (активний і неактивний). Тому для кодування чисел у комп’ютері в основному застосовується двійкова система, в якій використовуються тільки дві цифри: 0 і 1.

Основний принцип [двійкової системи] (https://www.znaiemoinformatyku.org/dviikovi-chysla-osnovy) не є специфічним для комп’ютерів. Це математичний принцип «позиційної системи», який працює в цілому. Ви можете використовувати його, наприклад, для лічби на пальцях, що дозволяє рахувати від 0 до 31 на пальцях однієї руки. Також підрахунок у двійковій системі (додавання, віднімання, множення) — це загальний принцип, який працює так само, як підрахунок у нашій звичній десятковій системі.

Для кодування від’ємних і десяткових чисел необхідно вдатися до деталей, дещо специфічних для комп’ютерів (скільки біт пам’яті виділяємо для номерів, як саме будемо їх використовувати).

Крім двійкової системи, в інформатиці ми іноді зустрічаємо системи, засновані на ступенях двійки, наприклад, вісімкову або шістнадцяткову систему. Зокрема, шістнадцяткову (гексадецимальну) систему часто можна зустріти під час роботи з кольорами RGB.

Принцип двійкової системи

У двійковій системі ми записуємо числа, використовуючи тільки дві цифри: 0 і 1. Положення кожної цифри в записі відповідає певному степеню двійки. Степені завжди починаються з нульового ступеня крайньої правої цифри і зростають ліворуч. Потім ми обчислюємо значення двійкового числа як суму цих степенів. Ми враховуємо кожен ступінь, якщо у відповідній позиції є 1, або не враховуємо, якщо в даній позиції є 0.

Маркування систем

Щоб розрізнити, чи йде мова про число у двійковій чи десятковій системі, ми додаємо нижні індекси до чисел, що позначають систему. Наприклад, число 5 у десятковій системі буде записано як 5_{10}, двійкове число зі значенням 5 буде записано як 101_2. Тоді ми можемо чітко визначити, що, наприклад, під нотацією 11_{10} ми маємо на увазі десяткове число 11, тоді як нотація 11_2 буде інтерпретуватися як двійкове число 11 і, отже, як десяткове число 3.

Інтуїтивна підказка

Щоб отримати базове уявлення про двійкові числа, ми можемо використовувати інструмент, який у нас завжди під рукою, а саме саму руку. Уявімо, що ми пишемо на пальцях степені двійки:

Тоді ми можемо рахувати на пальцях однієї руки не тільки до п’яти, але й до тридцяти одного. Кожне число можна виразити (однозначно) як суму степенів двійки. Якщо позначити положення пальців нулями й одиницями, то отримаємо запис у двійковій системі.

Приклади

Якщо ми засвоїмо основний принцип двійкової системи, ми можемо приступити до арифметичних операцій.

Додавання двійкових чисел

Ми можемо складати двійкові числа подібним чином, як ми звикли складати числа в десятковій системі. Єдина різниця виникає, якщо ми додаємо дві одиниці. Оскільки 1_2 + 1_2 = 10_2, у цьому випадку ми пишемо 0 і переносимо 1 до вищого порядку.

Віднімання двійкових чисел

Аналогічним чином працює віднімання двійкових чисел. Перенос відбувається тільки при підрахунку різниці 0_2 – 1. У цьому випадку ми «позичаємо» одиницю з вищого порядку, ніби ми рахуємо 10_2 – 1_2. Потім пишемо 1 і в наступному рядку додатково віднімаємо те, що позичили.

Множення двійкових чисел

Множення двійкових чисел також майже таке саме, як і десяткових чисел. Ми множимо так, ніби в нас є два десяткових числа, які складаються тільки з нулів і одиниць. Додавання рядків, отриманих у результаті множення, потім відбувається як двійкове додавання, яке описано вище.

Якщо в нас є двійкове число для помноження на ступінь двійки, ми можемо значно полегшити нашу роботу. Все, що вам потрібно зробити, це додати в кінець числа стільки нулів, скільки у степені двійки ми множимо. Наприклад, при множенні на два додаємо 1 нуль (2 = 2^1), при множенні на вісім додаємо 3 нулі (8 = 2^3). Поділити ціле число на двійку також легко, просто видаліть із дільника стільки останніх цифр, скільки буде двійка, на яку ми ділимо.

Шістнадцяткові числа — числа, записані в шістнадцятковій (гексадецимальній) системі. Ця система використовує 16 символів (0-9 і A-F, де A-F означає числа від десяти до п’ятнадцяти).

Шістнадцяткові числа тісно пов’язані з двійковою системою. Кожен символ у шістнадцятковій формі представляє чотири біти у двійковій системі, що полегшує перехід між двома системами. Будь-яке шістнадцяткове число можна перетворити на двійкове, призначивши чотири біти кожному шістнадцятковому символу.

Шістнадцяткові числа часто використовуються для відображення кольорів, наприклад, у моделі RGB. Кожен компонент кольору (червоний, зелений, синій) представлений вісьмома бітами, що відповідає двом шістнадцятковим цифрам. Так, червоний колір із повною інтенсивністю буде записаний як #FF0000, де FF означає максимальне значення червоного компонента.